Powered by blogger | Modified by
Η στήλη "επί τροχάδην" έχει προσωρινά παγώσει...

Τρίτη, 7 Μαρτίου 2017

Η ΝΙΦΑΔΑ ΚΟΧ ΚΑΙ Ο ΣΠΟΓΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΝΓΚΕΡ ΣΤΟ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΟ

Η καμπύλη ή νιφάδα Κοχ (Koch flake) κάποτε προβλημάτισε την επιστημονική κοινότητα. Πρόκειται για ένα από τα πιο γνωστά και αναγνωρίσιμα φράκταλ (σχήματα που σε οποιαδήποτε μεγέθυνση μοιάζουν με τον εαυτό τους). Ο τρόπος κατασκευής της οδηγεί σε άπειρη περίμετρο, ενώ η επιφάνεια που καταλαμβάνει είναι συγκεκριμένη.

Στην αρχή παίρνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Χωρίζουμε την κάθε πλευρά, σε τρία ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο στην κάθε πλευρά, με βάση το μεσαίο τρίτο της. Έτσι, δημιουργείται το δεύτερο σχήμα της εικόνας, το οποίο είναι το γνωστό εξάγραμμα. Αφαιρούμε από το εξάγραμμα, το τμήμα εκείνο του μητρικού τριγώνου, με βάση το οποίο κατασκευάσαμε τα τρία μικρότερα τρίγωνα. Έτσι, έχουμε ένα νέο κλειστό σχήμα, του οποίου η περίμετρος έχει αυξηθεί, κατά το 1/3 σε σχέση με το προηγούμενο. Έστω Α η περίμετρος του μητρικού τριγώνου. Μετά την πρώτη κίνηση αφαιρούμε Α/3 και προσθέτουμε 2Α/3. Έτσι η περίμετρος γίνεται 4Α/3. Συνεχίζουμε τη διαδικασία, χωρίζοντας όλες τις πλευρές του νέου σχήματος σε τρία ίσα μέρη δημιουργώντας νέα τρίγωνα και αφαιρούμε τη βάση των νέων τριγώνων. Η περίμετρος σε κάθε κίνηση αυξάνει κατά το 1/3 της προηγούμενης. Σε άπειρες κινήσεις, έχουμε άπειρη περίμετρο, σε περιορισμένο εμβαδό.

Η ΝΙΦΑΔΑ ΤΟΥ ΚΟΧ ΜΕ ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΣΜΙΚΡΥΝΣΕΙΣ 
Εδώ θα εισάγουμε μία ακόμη προϋπόθεση στη διαδικασία κατασκευής η οποία θα οδηγήσει σε κάτι αληθινά παράξενο. Έστω πως σε κάθε βήμα κατασκευής του φράκταλ μικραίνουμε το συνολικό σχήμα κατά ένα ποσοστό μικρότερο του 25%. Έστω για παράδειγμα πως το μικραίνουμε στα 7/8 του προηγούμενου. Τότε, η νέα περίμετρος θα είναι 7Α/8+(7Α/8)/3=Α+Α/6. Επομένως σε κάθε κίνηση, το σχήμα θα μικραίνει ενώ η περίμετρος θα μεγαλώνει. Η διαδικασία οδηγεί σε ένα σχήμα με όριο την άπειρη περίμετρο και τις μηδενικές διαστάσεις!

Ο ΣΠΟΓΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΝΓΚΕΡ ΜΕ ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΣΜΙΚΡΥΝΣΕΙΣ 
Εφαρμόζοντας την ίδια λογική και σε άλλα αντίστοιχα σχήματα, όπως ο σπόγγος του Μένγκερ (Menger sponge), καταλήγουμε σε ανάλογα εντυπωσιακά αποτελέσματα.
Ο σπόγγος του Μένγκερ, κανονικά δίνει άπειρη επιφάνεια σε περιορισμένο εξωτερικό όγκο. Σε κάθε κίνηση, αυξάνει την επιφάνειά του κατά το 1/3 της προηγούμενης. Ο όγκος μειώνεται κατά 7/27 σε κάθε κίνηση. Στην κατασκευή του, αντίθετα από την καμπύλη Κοχ, δεν προσθέτουμε κάτι, αλλά αφαιρούμε. Αφού χωρίσουμε τον κύβο σε 27 μικρούς κύβους, σε ένα σχήμα που μοιάζει με τον κύβο του Ρούμπικ (rubik's cube), αφαιρούμε τον κεντρικό κύβο και τους έξι μεσαίους της κάθε πλευράς. Μετά, συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία στους εναπομείναντες κύβους. Και τελικά έχουμε άπειρη επιφάνεια η οποία περιορίζεται στα ίδια εξωτερικά όρια, ενώ ο όγκος του τείνει να μηδενιστεί.

Τι προκύπτει όμως αν παρεισφρήσουν διαδοχικές σμικρύνσεις στην κατασκευή του; 
Αν η σμίκρυνση δεν ξεπερνά το 25% ώστε η επιφάνειά του να αυξάνεται, προκύπτει ένα σχήμα με όριο την άπειρη επιφάνεια σε μηδενικές διαστάσεις!


ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
Ένας μαθηματικός θα βεβαίωνε πως δεν υπάρχει τίποτα μαγικό σε όσα προαναφέρθηκαν αφού ούτε η Νιφάδα Κοχ ούτε ο Σπόγγος του Μένγκερ πρόκειται να φτάσουν ποτέ σε μηδενικές διαστάσεις. Και σε ένα σχήμα που έχει διαστάσεις, το άπειρο μπορεί να εμφανιστεί πολύ εύκολα, έστω κι αν είναι δυσνόητο. Σωστό! Αυτό όμως το φλερτ του απείρου με το μηδέν που μετά την ξυστρική σμίκρυνση στη διαδικασία κατασκευής των φράκταλ, εμφανίζονται ως όρια για τα ίδια (!) σχήματα, ταυτόχρονα, προβληματίζει. Μετά από χρόνια έρευνας έχουμε διαπιστώσει και καλά στηρίξει πως τα περισσότερα φυσικά μεγέθη είναι διακριτά (κβαντισμένα). Εκτός από όσα συνδέονται με τον αξιωμένο ως συνεχή χώρο. Η αξίωση της συνέχειας του χώρου οδήγησε σε παράδοξα όπως αυτά του Ζήνωνα του Ελεάτη. Τα οποία οι μαθηματικοί "εξηγούν" χρησιμοποιώντας όρια. Το να χρησιμοποιείς όμως όρια (απειροστικό λογισμό) για να καταρρίψεις προβλήματα που σχετίζονται με την επ' άπειρον διχοτόμηση είναι λογική υπέρβαση. Και τέτοιες η επιστήμη δεν τις αποδέχεται. Και καλά κάνει! Αν ξεκινήσεις βέβαια να αποδείξεις την ύπαρξη (πχ) τής μαγείας με τη φράση "έστω πως υπάρχει μαγεία" τότε είναι σίγουρο πως μαγεία θα βρίσκεις μπροστά σου. Αντίθετα, το να παρατηρείς πως ένα σχήμα έχει όριο μηδέν για το μέγεθός του και ταυτόχρονα άπειρο για την περίμετρό του ή την επιφάνειά του είναι κάπως διαφορετικό και κάτι πρέπει να λέει. Ή μήπως όχι;


   
Ακολουθήστε την ξύστρα στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης

0 σχόλια :

Δημοσίευση σχολίου

Αναγνώστες



Τελευταία σχόλια